No debería sorprender que el primer uso registrado del número cero, descubierto recientemente y datado ya en el siglo III o IV, tuviera lugar en India. Las matemáticas en el subcontinente indio tienen una rica historia de más de 3.000 años y prosperaron durante siglos antes de que se produjeran avances similares en Europa, mientras su influencia se extendía a China y Oriente Medio.
Además de aportarnos el concepto del cero, los matemáticos indios hicieron contribuciones fundamentales al estudio de la trigonometría, el álgebra, la aritmética y los números negativos, entre otras áreas. Quizá lo más significativo sea que el sistema decimal que todavía utilizamos hoy en todo el mundo apareció por primera vez en India.
El sistema numérico
Ya en el año 1200 a. C., los conocimientos matemáticos se ponían por escrito como parte de un amplio conjunto de saberes conocido como los Vedas. En estos textos, los números solían expresarse como combinaciones de potencias de diez. Por ejemplo, 365 podía expresarse como tres centenas (3x10²), seis decenas (6x10¹) y cinco unidades (5x10⁰), aunque cada potencia de diez se representaba con un nombre y no con un conjunto de símbolos. Es razonable creer que esta representación mediante potencias de diez desempeñó un papel crucial en el desarrollo del sistema de valor posicional decimal en India.
Desde el siglo III a. C., también contamos con pruebas escritas de los numerales brahmi, precursores del sistema numeral moderno, indio o indoarábigo, que hoy utiliza la mayor parte del mundo. Una vez introducido el cero, ya estaban presentes casi todos los elementos matemáticos necesarios para que los antiguos indios estudiaran matemáticas avanzadas.
El concepto del cero
El cero en sí tiene una historia mucho más larga. Los primeros ceros registrados, fechados recientemente, en lo que se conoce como el manuscrito de Bakhshali, eran simples marcadores de posición: una herramienta para distinguir 100 de 10. Ya se habían encontrado marcas similares en las culturas babilónica y maya en los primeros siglos de nuestra era y, posiblemente, en las matemáticas sumerias ya entre 3000 y 2000 a. C..
Pero solo en India el símbolo marcador de posición para la nada llegó a convertirse en un número por derecho propio. La aparición del concepto del cero permitió escribir los números de manera eficaz y fiable. A su vez, esto hizo posible llevar registros de forma efectiva, de modo que los cálculos financieros importantes pudieran comprobarse a posteriori, garantizando la honestidad de todos los implicados. El cero fue un paso importante en el camino hacia la democratización de las matemáticas.
Estas herramientas mecánicas accesibles para trabajar con conceptos matemáticos, junto con una sólida cultura académica y científica abierta, hicieron que, hacia el año 600 d. C., se dieran todas las condiciones para una explosión de descubrimientos matemáticos en India. En comparación, este tipo de herramientas no se popularizó en Occidente hasta principios del siglo XIII, aunque el libro Liber abaci de Fibonacci.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
En el siglo VII, las primeras pruebas escritas de las reglas para operar con el cero quedaron formalizadas en el Brahmasputha Siddhanta. En su obra fundamental, el astrónomo Brahmagupta introdujo reglas para resolver ecuaciones cuadráticas (tan apreciadas por los estudiantes de matemáticas de secundaria) y calcular raíces cuadradas.
Reglas para los números negativos
Brahmagupta también formuló reglas para operar con números negativos. Se refería a los números positivos como fortunas y a los negativos como deudas. Escribió reglas que los traductores han interpretado así: «Una fortuna restada de cero es una deuda» y «una deuda restada de cero es una fortuna».
Esta última afirmación equivale a la regla que aprendemos en la escuela: si restamos un número negativo, es lo mismo que sumar uno positivo. Brahmagupta también sabía que «el producto de una deuda y una fortuna es una deuda»: un número positivo multiplicado por uno negativo da un resultado negativo.
En general, los matemáticos europeos se mostraron reacios a aceptar que los números negativos tuvieran sentido. Muchos sostenían que los números negativos eran absurdos. Razonaban que los números se habían creado para contar y se preguntaban qué se podía contar con números negativos. Desde muy pronto, los matemáticos indios y chinos reconocieron que una respuesta a esa pregunta eran las deudas.
Por ejemplo, en un contexto agrícola primitivo, si un agricultor debe 7 vacas a otro, en la práctica el primero tiene -7 vacas. Si sale a comprar animales para saldar su deuda, tiene que comprar 7 vacas y entregárselas al segundo agricultor para que su recuento de vacas vuelva a 0. A partir de entonces, cada vaca que compre se sumará a su saldo positivo.
Fundamentos del cálculo
Esta reticencia a adoptar los números negativos, e incluso el cero, frenó las matemáticas europeas durante muchos años. Gottfried Wilhelm Leibniz fue uno de los primeros europeos en utilizar sistemáticamente el cero y los números negativos en su desarrollo del cálculo a finales del siglo XVII. El cálculo se utiliza para medir tasas de cambio y es importante en casi todas las ramas de la ciencia; en particular, sustenta muchos descubrimientos fundamentales de la física moderna.
Pero el matemático indio Bhāskara ya había descubierto muchas de las ideas de Leibniz más de 500 años antes. Bhāskara también hizo importantes contribuciones al álgebra, la aritmética, la geometría y la trigonometría. Aportó numerosos resultados, por ejemplo sobre la resolución de ciertas ecuaciones «diofánticas», que no se redescubrirían en Europa hasta siglos después.
La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, fundada por Madhava de Sangamagrama en el siglo XIV, fue responsable de muchos hitos pioneros en las matemáticas, entre ellos el uso de la inducción matemática y algunos resultados iniciales relacionados con el cálculo. Aunque la escuela de Kerala no desarrolló reglas sistemáticas para el cálculo, sus miembros concibieron por primera vez muchos de los resultados que más tarde se repetirían en Europa, incluidas las expansiones en series de Taylor, los infinitesimales y la diferenciación.
El salto que se dio en India al transformar el cero de un simple marcador de posición en un número por derecho propio refleja la cultura matemáticamente ilustrada que florecía en el subcontinente cuando Europa seguía sumida en la Edad Media. Aunque su reputación se ve perjudicada por el sesgo eurocéntrico, el subcontinente cuenta con una sólida tradición matemática que mantiene viva en el siglo XXI, aportando figuras clave a la vanguardia de todas las ramas de las matemáticas.
