Un nevado día de enero, pedí a una clase de estudiantes universitarios que me dijeran la primera palabra que les venía a la mente al pensar en las matemáticas. Las dos palabras más mencionadas fueron «cálculo» y «ecuación».
Cuando hice la misma pregunta a un grupo de matemáticos profesionales, nadie mencionó ninguna de esas palabras; en cambio, propusieron expresiones como «pensamiento crítico» y «resolución de problemas».
Por desgracia, esto es habitual. Lo que los matemáticos profesionales consideran matemáticas es muy distinto de lo que la población general entiende por matemáticas. Cuando tantas personas describen las matemáticas como sinónimo de cálculo, no es de extrañar que oigamos tan a menudo «Odio las matemáticas».
Así que me propuse resolver este problema de una manera algo poco convencional. Decidí ofrecer en mi institución, Carthage College, una asignatura llamada «Las matemáticas del tejido». En ella, opté por eliminar por completo del aula el lápiz, el papel, la calculadora (¡horror!) y el libro de texto. En cambio, conversábamos, usábamos las manos, hacíamos dibujos y jugábamos con todo tipo de objetos, desde pelotas de playa hasta cintas métricas. Para los deberes, reflexionábamos escribiendo en un blog. Y, por supuesto, tejíamos.
Iguales, pero diferentes
Uno de los aspectos fundamentales del contenido matemático es la ecuación, y el signo igual es esencial para ella. Una ecuación como x = 5 nos dice que la temida x, que representa una cantidad, tiene el mismo valor que 5. El número 5 y el valor de x deben ser exactamente iguales.
El signo igual habitual es muy estricto. Cualquier pequeña desviación de lo «exacto» significa que dos cosas no son iguales. Sin embargo, hay muchas situaciones en la vida en las que dos cantidades no son exactamente iguales, pero sí lo son en esencia según algún criterio significativo.
Imagina, por ejemplo, que tienes dos cojines cuadrados. El primero es rojo por arriba, amarillo por la derecha, verde por abajo y azul por la izquierda. El segundo es amarillo por arriba, verde por la derecha, azul por abajo y rojo por la izquierda.
Los cojines no son exactamente iguales. Uno tiene la parte superior roja y el otro, amarilla. Pero sin duda se parecen. De hecho, serían exactamente iguales si giraras una vez en sentido antihorario el cojín con la parte superior roja.
¿De cuántas maneras distintas podría poner el mismo cojín sobre una cama y hacer que pareciera otro? Un poco de investigación muestra que hay 24 configuraciones posibles de colores para un cojín decorativo, aunque solo ocho pueden obtenerse moviendo un cojín determinado.
Los estudiantes lo demostraron tejiendo cojines decorativos de dos colores a partir de patrones de tejido.
Los estudiantes crearon patrones cuadrados de tejido en los que cada uno de los ocho movimientos del patrón daba lugar a una imagen diferente. Después tejieron un cojín decorativo con ellos y demostraron la equivalencia de las imágenes moviendo el cojín.
Geometría de la lámina de goma
Otro tema que abordamos es una materia a veces llamada «geometría de la lámina de goma». La idea consiste en imaginar que el mundo entero está hecho de goma y volver a pensar qué aspecto tendrían las formas.
Intentemos entender el concepto con el tejido. Una forma de tejer objetos redondos, como gorros o guantes, es usar unas agujas especiales llamadas agujas de doble punta. Mientras se teje, tres agujas dan forma al gorro, que parece triangular. Luego, al sacarlo de las agujas, el hilo elástico se relaja y adopta una forma circular, convirtiéndolo en un gorro mucho más típico.
Este es el concepto que intenta describir la «geometría de la lámina de goma». De algún modo, un triángulo y un círculo pueden ser iguales si están hechos de un material flexible. De hecho, en esta rama de estudio todos los polígonos se convierten en círculos.
Si todos los polígonos son círculos, ¿qué formas quedan? Hay algunas características que se distinguen incluso cuando los objetos son flexibles: por ejemplo, si una forma tiene bordes o no, agujeros o no, torsiones o no.
Un ejemplo relacionado con el tejido de algo que no es equivalente a un círculo es una bufanda infinita. Si quieres hacer una bufanda infinita de papel en casa, toma una tira larga de papel y pega los bordes cortos uniendo la esquina superior izquierda con la esquina inferior derecha y la esquina inferior izquierda con la esquina superior derecha. Después, dibuja flechas que apunten hacia arriba a lo largo de todo el recorrido alrededor del objeto. Debería ocurrir algo curioso.
Los estudiantes de la asignatura dedicaron un tiempo a tejer objetos, como bufandas infinitas y cintas para la cabeza, que seguían siendo diferentes aunque estuvieran hechos de un material flexible. Añadir marcas, como flechas, ayudaba a visualizar exactamente en qué se diferenciaban los objetos.
Diferentes matices
Si lo que se describe en este artículo no te parece matemáticas, quiero insistir en que sí lo es, y mucho. Las materias que se analizan aquí —el álgebra abstracta y la topología— suelen reservarse para estudiantes de matemáticas de los dos últimos años de universidad. Sin embargo, las ideas de estas materias son muy accesibles si se emplean los medios adecuados.
A mi juicio, no hay razón para ocultar al público estos distintos matices de las matemáticas ni para darles menos importancia que a las matemáticas convencionales. Además, los estudios han demostrado que el uso de materiales que se pueden manipular físicamente puede mejorar el aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles de estudio.
Si más matemáticos pudieran dejar de lado las técnicas clásicas, parece posible que el mundo superara la idea errónea generalizada de que el cálculo es lo mismo que las matemáticas. Y quizá unas cuantas personas más podrían adoptar el pensamiento matemático; si no en sentido figurado, literalmente, con un cojín decorativo.
