Los números primos son uno de los temas de estudio más básicos de la rama de las matemáticas llamada teoría de números.
Los números primos son aquellos que solo pueden dividirse exactamente por sí mismos y por 1. Por ejemplo, 7 es un número primo, ya que si divido 7 por cualquier número que no sea él mismo o 1, obtengo un resto o una parte fraccionaria. 6 no es primo porque puedo dividir 6 entre 2 y obtener 3.
Una de las razones por las que los números primos son importantes en la teoría de números es que, en cierto sentido, son los bloques de construcción de los números naturales. El teorema fundamental de la aritmética (cuyo nombre indica su importancia básica) establece que cualquier número se puede descomponer en una lista única de números primos. 12 = 2 x 2 x 3, 50 = 5 x 5 x 2, 69 = 3 x 23.
Estudiar los números, entonces, básicamente equivale a estudiar las propiedades de los números primos. A lo largo de los milenios, los matemáticos han averiguado bastante sobre ellos. Una de las demostraciones más famosas de Euclides muestra que hay infinitos números primos.
La idea básica de la demostración es que, si solo hubiera una cantidad finita de números primos y tuviéramos una lista de todos ellos, podríamos multiplicarlos entre sí y sumar 1, creando un nuevo número que no es divisible por ninguno de los números primos de nuestra lista. Ese número sería un número primo que no está en nuestra lista o tendría un divisor primo que no está en ella. En cualquiera de los casos, se contradice la idea de que pueda haber una lista finita de números primos, por lo que tiene que haber infinitos.
En el siglo XIX, los matemáticos demostraron el teorema de los números primos. Dado un número natural grande, el teorema ofrece una estimación aproximada de cuántos números menores que el número dado son primos. Según una fórmula aproximada concreta, los números primos se vuelven menos frecuentes entre los números más grandes.
A pesar de todo lo que sabemos sobre los números primos, hay muchas conjeturas sobre ellos que parecen sencillas, pero que aún no se han demostrado ni refutado. Estas son algunas de ellas.
Números primos gemelos
Los números primos gemelos
son parejas de números primos entre los que hay un solo número: 5 y 7, 11 y 13, y 29 y 31. La conjetura de los primos gemelos sostiene que, entre los infinitos números primos, hay infinitas parejas de primos gemelos.
La mayoría de los matemáticos cree que la conjetura debería ser cierta: aunque los números primos se vuelven menos frecuentes a medida que aumentan los números, la experiencia y la intuición de los teóricos de números con los primos sugieren que las parejas de primos gemelos deberían seguir apareciendo de vez en cuando. A pesar de ello, la conjetura aún no se ha demostrado ni refutado. Tras permanecer como una pregunta completamente abierta durante siglos, en la primavera de 2013, el matemático de la Universidad de New Hampshire Yitang Zhang logró un avance en el problema, por el que recibió una beca MacArthur «Genius» en septiembre de 2014
. Aunque no demostró la propia conjetura de los primos gemelos, Zhang inventó una técnica novedosa que demostró que hay infinitas parejas de números primos con no más de 70,000,000 de números entre ellos. Es una cifra enorme, pero fue el primer límite finito de este tipo para las distancias entre primos que se había descubierto.
En el otoño de 2013, un gran grupo de matemáticos amplió el trabajo de Zhang y resultados similares y, de forma colaborativa, fue encontrando límites cada vez menores, hasta demostrar que hay infinitas parejas de primos con un máximo de 246 números entre ellos.
Conjetura de Goldbach Este es otro problema enunciado de forma sencilla. La conjetura de Goldbach
afirma que todo número par mayor que dos se puede escribir como la suma de dos números primos. Esto sin duda se cumple para los números más pequeños: 4 = 2 + 2, 8 = 5 + 3, 20 = 13 + 7, pero no se ha demostrado para todos los números pares. Investigadores con computadoras del siglo XXI y programas bien diseñados
han verificado la conjetura para los números pares de hasta 4,000,000,000,000,000,000. Esto constituye una evidencia bastante buena a favor de la conjetura, pero, en matemáticas, afirmar que una conjetura se cumple para todos los números menores que cierto límite finito ridículamente elevado no basta para decir que se cumple para todos los números.
Números primos capicúas
En inglés, los palíndromos son palabras u oraciones que se leen igual hacia delante y hacia atrás. La palabra «radar» y la frase «A man, a plan, a canal: Panama» son palíndromos. Del mismo modo, los números primos capicúas son números primos cuyas expresiones decimales se leen igual hacia delante y hacia atrás. 11, 101 y 16561 son algunos ejemplos de números primos capicúas
. Mi número primo favorito es el primo de Belphegor : 1000000000000066600000000000001. Es un 1, seguido de 13 ceros, luego un 666, seguido de otros 13 ceros y, al final, un 1. Dado que el 666 es el «número de la bestia», según Apocalipsis 13:18
, y que el 13 lleva asociadas muchas supersticiones, este es probablemente el número primo más desafortunado posible en el sistema numérico decimal.
Al igual que ocurre con los primos gemelos, actualmente se desconoce si hay infinitos números primos capicúas. Sin embargo, los primos capicúas son un área de investigación matemática menos activa que la de los primos gemelos.
Problemas como la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos dependen únicamente de la estructura y la distribución de los propios números primos. Pero los primos capicúas dependen del sistema numérico que se utilice: los capicúas binarios son completamente distintos de los decimales. El número primo que en decimal se escribe 31 se escribe 11111 en binario. En binario, este número primo es capicúa; en decimal, no lo es. Aunque los matemáticos estudian los primos capicúas y han obtenido resultados como el de que los números primos son poco frecuentes entre los palíndromos
independientemente del sistema numérico utilizado, una mayor parte del esfuerzo en teoría de números se dedica a problemas centrados principalmente en las propiedades de los primos, independientemente de sus representaciones.
La hipótesis de Riemann La hipótesis de Riemann
es uno de los Problemas del Milenio, un conjunto de los problemas abiertos más importantes de las matemáticas. Resolver uno de ellos conlleva un premio de $1,000,000.
La hipótesis de Riemann implica una ampliación del teorema de los números primos mencionado anteriormente. Ese teorema ofrece una fórmula para estimar la cantidad de números primos menores que cierto número grande. La hipótesis de Riemann da un resultado más específico y ofrece una fórmula que muestra cuán precisa será esa estimación.
El gran matemático del siglo XIX Bernhard Riemann relacionó ese límite de precisión con una función especial en el plano de los números complejos. La hipótesis de Riemann propiamente dicha afirma que todos los puntos del plano complejo en los que esa función es igual a cero se encuentran sobre una línea concreta del plano. Si esto fuera así, el límite de precisión también sería válido.
Al igual que con los otros problemas de esta lista, hay bastantes pruebas numéricas a favor de la hipótesis de Riemann y la mayoría de los matemáticos cree que es cierta. Los matemáticos han comprobado miles de millones de ceros de la función y han descubierto que todos se encuentran sobre esa línea.
También como sucede con los otros problemas que hemos visto, aún no existe una demostración completa de la hipótesis. En todos estos casos, aunque la mayoría de los matemáticos cree que estas conjeturas son ciertas y hay bastantes pruebas empíricas a su favor, continúa la búsqueda de una demostración completa.
Este comportamiento aparentemente obsesivo por parte de los matemáticos se debe en parte a que las demostraciones rigurosas son uno de los objetivos principales de las matemáticas, pero también a que cualquier demostración de la conjetura de los primos gemelos o de la hipótesis de Riemann probablemente implicaría técnicas y perspectivas matemáticas radicalmente nuevas, lo que podría dar lugar a vías de investigación e ideas completamente nuevas que explorar. En matemáticas, a menudo el camino para encontrar una demostración es al menos tan interesante como el propio resultado. Publicado en colaboración con
Business Insider
Autor: Andy Kiersz es reportero de finanzas cuantitativas en Business Insider.
